数学には、さまざまな証明法が存在します。そのため、証明問題にあたる際には、そのように無数にある証明法の中から、適切なものを選ばなくてはなりません。
今回は、中でも特に混同しがちな「対偶証明法」と「背理法」の違いについて、ご紹介します。
対偶証明法と背理法とは
対偶証明法と背理法は、どちらも「間接証明法」と呼ばれ、混同してしまう方も少なくありません。
対偶証明法とは、「PならばQ」といった命題を直接証明することが難しい場合に、「対偶が真なら命題も真」であることを利用し、「QでないならばPでない」ことを証明する方法です。
一方「背理法」とは、「～がPであることを証明せよ」という問題に際し、「Pでない」と仮定した場合に起きる矛盾を見つけることで、「Pである」ことを証明する方法です。
言葉だけでは多くの方にとって分かりづらいと思われるため、以下では例題を交えつつ、より詳細に説明していきます。
対偶証明法の使い方
まずは対偶証明法を用いながら、実際に例題を解いてみましょう。
基本的な知識の確認となりますが、
「PならばQ」という命題に対しては、
・逆「QならばP」
・裏「PでないならばQでない」
・対偶「QでないならばPでない」
があり、命題と対偶の真偽は一致し、裏と逆の真偽が一致します。
対偶証明法では、命題の真偽を証明するために対偶の証明にあたりますが、その際「対偶を正しくとること」を心がけなければなりません。
具体的には、以下の例題を見てください。
【例題１】
整数m,nについて、mnが奇数ならば、m,nともに奇数であることを証明しなさい。
【解き方】
この命題の対偶は
「整数m,nについてm,n少なくとも一方が偶数ならば、mnは偶数である」
となります。
最初の命題の「m,nともに」の部分に注目してください。対偶をとる際は、この「ともに」も否定しなくてはいけません。よって「m,n少なくとも一方」と言い換えます。
【例題1の証明】
m＝2k（kは整数）と置くと、mn＝2kn ゆえにmnは偶数である。
nが偶数の場合も
n＝2l（lは整数）と置くと、mn＝２ml ゆえにmnは偶数である。
よって対偶が真となり、命題は証明されました。
続いて、不等号を用いた問題も解いてみましょう。
【例題2】
x２＋y２≦1ならばx≦1であることを証明しなさい。
【解き方】
この命題の対偶は
x＞1ならばx２＋y２＞1である。
この時もやはり気をつけなくてはいけないのが、≦ が ＞ となっている点です。
【例題2の証明】
x＞１のときx２＞1
y２≧０なので、x２＋y２＞1
よって対偶により命題は証明されました。
「ともに」や「かつ」、そして不等号に気を付けつつ、対偶証明法を有効に使いましょう。
背理法の使い方
続いて、背理法について例題を用いてご説明します。
背理法の利点としては、必ずしも「PならばQ」といった形を必要としないことがあげられます。
「Pである」ことを証明する際、「Pでない」場合に起こる矛盾を指摘し、命題を示すというロジックです。
早速ですが例題を解いてみましょう。
【例題3】
自然数a,b,cについて、a2＋b2＝c2 が成り立つ時、a,b,c少なくとも1つは偶数であることを証明しなさい。
【解き方】
この問題は、「PならばQ」という形になっていません。
そのため、背理法を用いながら、「a,b,c全て奇数」だと仮定した際の矛盾を探します。
【証明】
a,b,cが奇数だと仮定した時、
a2,b2,c2も奇数
よってa2＋b2は奇数＋奇数で偶数となるのでa2＋b2＝c2に矛盾する。
ゆえに、a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である。
「少なくとも1つは」の部分がネックとなりそうな問題でしたが、背理法を用いて解きやすい形を作ることが出来ました。
また、背理法は「PならばQ」という形をとる問題も解くことが出来ます。
先ほど対偶証明法を使用した例題2を、今度は背理法で解いてみましょう
【例題2】
x２＋y２≦1ならばx≦1であることを証明しなさい。
【例題2の証明】
x＞1であると仮定すると
x2＞1 また、y2≧0 なのでx２＋y２＞1これはx２＋y２≦1 に矛盾する。
よってx２＋y２≦1ならばx≦1である。
背理法によっても、例題2をスムーズに証明することが出来ました。
おわりに
対偶証明法と背理法の違いと使い方についてご紹介しました。
直接証明することが難しいと思われる問題にあたった際、対偶を書き出す、あるいは「～でない」と仮定してみる癖をつけましょう。スムーズな道筋を見つける事さえできれば、比較的簡単に解き進められる点も証明問題の特徴です。
対偶証明法と背理法の両方を身につけ、試験ではロスなく問題を解いていきましょう。
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スタディ・タウン学び情報局 編集部
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