2015.06.12大学受験

「チェバの定理」と「メネラウスの定理」の証明と覚え方

チェバの定理とメネラウスの定理の照明と覚え方「チェバの定理」と「メネラウスの定理」は、三角形の辺の比に関する公式として有名ですが、これらの公式の証明については、理解が曖昧となっている方も多いことと思われます。

各公式そのものを覚えることはもちろん重要ですが、その公式がどのような要素から成り立っているのかを理解しないままでは、活用すべき場面を見落としてしまうかもしれません。そこで今回は意外と知らない「チェバの定理」と「メネラウスの定理」の証明、および各定理の覚え方をご紹介します。

三角形の面積比

三角形の面積比いきなり証明に立ち入ることも可能ですが、理解をより深めるためにも、まずは証明に必要な「三角形の面積比」に関する知識を復習しましょう。

2つの三角形において、底辺と高さの内、いずれか一方が等しい場合に、もう一方の長さの比がそのまま三角形の面積比となります。例題を見てみましょう

 

 

 

 

 

【例題】

△ABCにおいて、辺BCを3：1に内分する点Dをとった。このとき△ABDと△ACDの比を求めよ。

 

【証明】

△ABDと△ACDは点Aを共有しているため高さは等しい。…①

設問よりBD：CD＝3：1…②

 

①②より高さが等しい場合の三角形の面積比は底辺の長さの比に対応するため、

△ABD：△ACD＝3：1

 

この知識を次項の証明で多用するため、しっかりと覚えてください。

 

 

チェバの定理

上記でご紹介した三角形の面積比を使いつつ、チェバの定理を証明してみましょう。

 

【チェバの定理】

チェバの定理△ABCにおいて、内部に点Pをとる。各頂点から点Pを通り向かいの辺と交わる直線をそれぞれひく。直線APと辺BCとの交点をD、直線BPと辺ACとの交点をE、直線CPと辺ABとの交点をFとする。このとき、（AF/BF）×（BD/CD）×（CE/AE）＝1が成り立つ。

さて、証明の概略は以下でのようです。

  • まずは底辺が共通している、すなわち底辺が等しい三角形を見つけます。
  • 底辺が共通する2つの三角形の高さの比を、三角形の面積比と対応させて分数で表します。
  • 証明式に代入します。

 

上記の順序に沿って、証明をすすめてみましょう。

 

【証明】

△ABCを△ABP、△BCP、△ACPに分けて考える。・・・①

△ABPと△BCPについて、辺BPが共通している。・・・②

そこで高さの比が三角形の面積比となるため、△BCP：△ABP＝CE：AE

分数になおすと、△BCP/△ABP＝CE/AE…（a）

△BCPと△ACPについて、辺CPが共通しているため、同様にして、

△ACP：△BCP＝AF：BF

すなわち、△ACP/△BCP＝AF/BF…（b）

△ABPと△ACPについて、辺APが共通しているため、同様にして、

△ABP：△ACP＝BD：CD

すなわち、△ABP/△ACP＝BD/CD…（c）

(a)(b)(c)を与式に代入して、・・・③

（△ACP/△BCP）×（△ABP/△ACP）×（△BCP/△ABP）＝1

したがって、（AF/BF）×（BD/CD）×（CE/AE）＝1　（証明終）

 

最後は三角形がすべて約分され、「1」になることが確認できました。

 

メネラウスの定理

【メネラウスの定理】

△ABCにおいて、辺AB上に点Dをとり、辺ACへ向けて直線を伸ばしその交点をEとする。さらに、直線DEと辺BC延長線上の交点をFとする。このとき、（AD/BD）×（BF/FC）×（CE/AE）＝1が成り立つ。

 

一見変則的な図形を扱うメネラウスの定理も、その図形の中に三角形を見出すことにより、面積比を使用して証明することができます。

さて、メネラウスの定理の証明はチェバの定理と同様の手順で行います。ただし一部共通した底辺ではなく、共通した高さをもとに比を計算する箇所があるため、ご注意ください。

 

【証明】

△ABFにおいて、△AEFと△BEF、△AEFと△CEF、△BEFと△CEFに分けて考える。

△AEFと△BEFについて、辺EFが共通している。

そこで高さの比が三角形の面積比となるため、△AEF：△BEF＝AD：BD

分数になおすと、△AEF/△BEF＝AD/BD・・・（a）

△AEFと△CEFについて、辺EFが共通しているため、同様にして、

△CEF：△AEF＝CE：AE

すなわち、△CEF/△ABE＝CE/AE・・・（b）

△BEFと△CEFについて、これは辺BFと辺CFから点Eまでの高さが等しいため、底辺の比が三角形の面積の比となる。つまり△BEF：△CEF＝BF：CF

すなわち、△BEF/△CEF＝BF/CF・・・（c）

(a)(b)(c)を与式に代入して、

（△AEF/△BEF）×（△BEF/△CEF）×（△CEF/△AEF）＝1

したがって、（AD/BD）×（BF/FC）×（CE/AE）＝1　（証明終）

 

ポイントは、△ABCではなく、チェバの定理で用いた図形とほぼ同形の△ABFで証明を考えることです。

点Fは辺BCの外分点であるため、BC：CFとなる三角形のペアを見つけ出すのではなく、BF：CFとなる三角形のペアを見つけましょう。

 

覚え方のポイントは「一筆書き」

メネラウスの定理文字のみの公式としてチェバの定理・メネラウスの定理を覚えた場合には、いざ問題の図形を見た際に、どの辺をどの分子・分母に代入すべきか、まるで分からなくなってしまう可能性もあります。そこで以下では、上記の証明と合わせて覚えておくべき、各定理における「辺の代入位置」正確に思い出すためのテクニックをご紹介します。

先のチェバの定理の公式を見てみましょう。

 

（AF/BF）×（BD/CD）×（CE/AE）＝1

 

 

辺ごとにアルファベット順で書かれており分かりにくいため、書き直してみます。

 

（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）＝1

 

A→F→B→D→C→E→Aのように、三角形を一周して再び元の頂点に戻っていくことが分かります。そして、メネラウスの定理も同様です。

 

（AD/DB）×（BF/FC）×（CE/EA）＝1

 

この場合は点Fを通るに際して、線分CF間を往来しますが、基本は「一筆書き」でスタートした頂点へと戻ってきます。

 

ぜひ一度、図形をペンでなぞりながら試してください。

 

おわりに

チェバの定理、およびメネラウスの定理の証明と覚え方についてご紹介しました。

ただ単に眺めて覚えただけでは、定理・公式を効率的に使用することはできません。今回の記事もご参考に、ぜひ数学の各種定理・公式を、その成り立ちから詳しく理解していきましょう。

 

 

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スタディ・タウン学び情報局　編集部

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