積の法則？和の法則？数学Aで習う順列・組み合わせの基本

「班員A、B、C、Dの4人の中から班長と副班長を選ぶとき、その選び方は何通りあるか」

「生徒A、B、C、Dの4人の中から学級委員を2人選ぶとき、その選び方は何通りあるか」

みなさんは上記2つの問題について、どちらが「順列」、もしくは「組み合わせ」の問題であるか区別して理解できていますか。

このような問題は「場合の数」と呼ばれ、「₄P₂」で計算するか、「₄C₂」で計算するかで大きく異なる答えを導きます。

そこで今回は、順列と組み合わせの違いを解説し、場合の数の単元において多くの方を悩ませる、「積の法則」と「和の法則」の考え方の違いをご紹介します。

コンテンツ

1 順列と組み合わせの違いは？
2 積の法則＝各事象が同時に起こりうる場合
3 和の法則＝各事象が同時に起こりえない場合
4 おわりに

順列と組み合わせの違いは？

順列と組み合わせの違いは、「集合から取り出したものをそれぞれ区別するかしないか」という点にあります。

冒頭でご紹介した2題を例に挙げましょう。

前題ではまず、班員4人の中から2人を選び、その後2人が班長と副班長、どちらの役職に就くかを考えなければなりません。しかし後題では、役職に区別がないため、生徒４人の中から2人を選ぶだけで良いのです。

つまり、前題だけが対象を集団から取り出し、さらに「区別」を行っています。そして、この区別のプロセスまで行わなければならない問題こそが「順列」であり、以下の公式が用いられます。

順列の公式

異なるn個の内、r個を選びそれらを並べる順列は、全部で　 nPr　通り存在する。

したがって、前題については、₄P₂＝4×3＝12（通り）と答えが出ます。

一方、区別を行わない「組み合わせ」と呼ばれる後題では、以下の公式が用いられます。

組み合わせの公式

異なるn個の内、r個を選ぶ組み合わせは、全部で　 nCr　通り存在する。

そのため、後題は₄C₂＝（4×3）/（2×1）＝6（通り）が答えです。

積の法則＝各事象が同時に起こりうる場合

積の法則について説明するため、サイコロを2つ使用した以下の問題を解いていきましょう。

例題1

「大小2つのサイコロを同時に振ったとき、出た目がそれぞれ奇数となる場合は何通りあるか」

積の法則とは、「事象Aにm通り、事象Bにn通りの起こり方があるとき、A,Bがともに起こる場合の数はm×n通り」であるという法則です。この積の法則を使う際は、掛け合わせる事象に関して、「同時に起こりうる」という前提条件が成り立っていなければなりません。

例題の場合、「大きいサイコロで奇数の目が出る」事象と「小さいサイコロで奇数の目が出る」事象は同時に起こりえます。そのため、積の法則を適用し、大きいサイコロで奇数の目が出る場合の3通りと、小さいサイコロで奇数の目が出る場合の3通りを掛け合わせて、9通りという答えを導くことが可能です。

和の法則＝各事象が同時に起こりえない場合

それでは次に、以下の例題を見てください。

例題2

「大小2つのサイコロを振ったとき、出た目の和が10以上になる場合は何通りあるか。」

サイコロ2つの目の和は最大12であるため、上記の問題では、和が「10のとき」、「11のとき」、「12のとき」という3つの事象について考えていきます。

ただし、上記それぞれの和について場合分けを行う際には、一方のサイコロの目によって、考慮すべきもう一方のサイコロの数字が自ずと決まります。加えて、出目の和が「10のとき」「11のとき」「12のとき」は同時に起こり得ないため、例題1のように積の法則を適用することはできません。したがって、代わりに「和の法則」を使用します。

和の法則とは、「事象Aにm通り、事象Bにn通りの起こり方があり、各事象が同時に起こりえないとき、AもしくはBが起こる場合の数はm＋n通り」であるという法則です。

出目の和が条件を満たす場合の数は、「10のとき」に3通り、「11のとき」に2通り、「12のとき」に1通りあります。そのため例題の答えは、3+2+1＝6（通り）です。